湿り空気の密度

全大気圧P[Pa]，温度t[℃]，相対湿度r[x100%]が与えられた時の空気密度ρ[g/m3]は以下のように表される；

$$\rho = \frac{M_d \cdot P - (M_d - M_w)r \cdot P_s (t)}{RT}$$

ここで，
Md = 28.966 : 乾燥空気の分子量 (だいたいN₂(=28):75%とO₂(=32):25%)
Mw = 18: 水蒸気の分子量 (H₂O)
R = 8.314[J/K/mol] : 気体定数
T = t + 273.15 [K] : 絶対温度

また，Ps(t)[Pa]  : 飽和水蒸気圧はtのみの関数であり，一般には蒸気圧曲線から求められる。近似式もいくつか提案されているが，例としてTetensの式(1930)を以下に示す；

$$P_s(t) = 610.8 \times 10^{7.5t/(t+237.3)}$$


【導出】
混合気体の分圧の法則（ドルトンの法則）と質量保存の法則から以下が成り立つ；
$$P = P_d + P_w \\ n = n_d + n_w \\ nM = n_d M_d + n_w M_w \\ \frac{P_d}{n_d}=\frac{P_w}{n_w}=\frac{P}{n}$$
ここで，P, M, nはそれぞれ相対湿度rの空気の全圧，平均分子量，モル数を，Pd, Md, ndは乾燥空気の分圧，分子量，モル数を，Pw, Mw, nwは大気中の水蒸気の分圧，分子量，モル数を表す。
上式からn, nd, nw, Pdを消去し，Pw = r Ps(t)を代入すると，
$$M=M_d - (M_d-M_w) \frac{rP_s (t)}{P}$$
気体の状態方程式
$$PV=nRT \\ \Longleftrightarrow P=\frac{\rho}{M}RT \\ \Longleftrightarrow \rho=\frac{MP}{RT}$$
に，上のMを代入すると求める式が得られる。